Lógica matemática 

¿Qué es la lógica de la matemática?

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La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado.

Proposiciones 

Una proposición, en términos generales, es algo que se propone. Es decir, es una expresión equivalente de una oración simple aseverativa, una oración en la que se afirma que algo es, que algo existe o que posee determinada característica. Por lo tanto, puede ser juzgada como cierta (si concuerda con la realidad) o falsa (si no lo hace).

ejemplos de proposiciones 

Funciones de Verdad

Si George Boole fue el padre de la lógica moderna, el lógico alemán Gottlob Frege sería su segundo fundador. A Frege le debemos el uso de las conocidas como funciones de verdad, que permiten combinar el Álgebra Booleana con las proposiciones. Al final y al cabo, a estas se les adjudica dos posibles valores, verdadero y falso. Al trabajo de Frege le dedicamos un artículo propio:

El Logicismo y la Lógica Moderna

Estas funciones de verdad toman como argumento una o varias proposiciones y devuelven un valor de verdad, o bien $�$ (o $1$), el valor verdadero o bien $�$ ($0$), el valor falso.

En funciones que reciben un una proposición como argumento, este evidentemente solo puede ser una de esas dos posibilidades, o bien es una proposición es verdadera o bien falsa. Para funciones de dos argumentos $�(�,�)$ las posibilidades son $2^2=4$, que serían $(1,1)$, $(1,0)$, $(0,1)$ o $(0,0)$. Por ejemplo, la función conjuntiva que veremos luego $�(�,�)$, devuelve $1$ cuando recibe como argumento $(1,1)$, y $0$ para las tres posibilidades restantes.

Conectores lógicos 

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Conectores Lógicos y Tablas de Verdad

En el lenguaje de la lógica proposicional, las funciones de verdad se representa mediante conectores lógicos. Gracias a estos podemos construir nuevas proposiciones a partir de otras.

Los conectores lógicos reciben como argumentos valores de verdad. Así, la nueva proposición formada por el conector tendrá uno y solo un valor de verdad que dependerá de los valores de verdad de las proposiciones que la forman y del tipo de conector que las une. Habrá conectores diádicos (dos argumentos) y conectores monádicos (un solo argumento).

Tablas de Verdad

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Representaremos los conectores mediante las llamadas Tablas de Verdad. Cada fila representa una posible combinación de valores de verdad, o lo que es lo mismo, las posibles interpretaciones de dos variables proposicionales ($�$ y $�$). En la última columna aparecerá el valor resultado de la función de verdad.

Se debe puntualizar que los ejemplos que usaré sirven de mero apoyo didáctico. Los conectores lógicos representan el concepto de función matemática y se deben solo a ese concepto. Son, por tanto, independientes de las estructuras del lenguaje.

Negación

$\mathrm{\neg }�$

La conjunción, equivalente al castellano «…y…», es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas.

«¡No puedes pasar!»

Conjunción

$�\wedge �$

La conjunción, similar al castellano «…y…»; es verdadera solo cuando ambas proposiciones son verdaderas. Es equivalente al producto en el Álgebra de Boole.

«Muchos vivos merecerían la muerte y algunos que mueren merecen la vida»

Disyunción

$�\vee �$

La disyunción es verdadera siempre y cuando sean verdaderas alguna de las variables o ambas. No se corresponde exactamente tampoco con la disyunción gramatical «…o…», pues no expresa simplemente la alternancia entre las dos opciones. Es igualmente verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas. Su equivalente en el Álgebra de Boole es la suma.

«¿Me deseas un buen día o quieres decir que hoy es un buen día lo quiera o no?»

Condicional

$�\to �$

El condicional, también llamado implicación, niega la posibilidad de que la primera variable sea cierta sin que lo sea la segunda. Corresponde a lo que vulgarmente sería «si…entonces…». Debe apuntarse que la condicionalidad no es bidireccional: $�$ no puede concluirse a partir de $�$. Tampoco expresa ninguna implicación causal.

«En caso de duda, Meriadoc, sigue siempre a tu olfato»

Bicondicional

$�\leftrightarrow �$

El bicondicional o condicional recíproco restringe su valor de verdad o bien cuando ambas variables son ciertas o cuando ambas son falsas. En lenguaje ordinario sería «…si y solo sí…». En este caso sí es bidireccional de forma que $(�\to �)\wedge (�\to �)$. Tanto el bicondicional como el condicional cumplen el principio de que, dadas unas premisas verdaderas, la conclusión nunca puede ser falsa, un principio que será trascendental cuando veamos reglas de inferencia.

«Solo tu puedes decidir qué hacer con el tiempo que se te ha dado»

 

Equivalencia entre conectores

Realmente podría haber muchos más conectores lógicos. La razón por la que suelen verse estos cinco es porque son intuitivamente comprensibles.

Podrían usarse más conectores pero también menos. Y es que, gracias a la posibilidad de anidar unas expresiones dentro de otros, podemos combinarlas para realizar equivalencias. Por ejemplo, las expresiones $�\wedge �$ y $\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }�\vee \mathrm{\neg }�)$ son equivalentes, esto es, para los mismos valores devuelven un mismo valor de verdad. Otro ejemplo es $�\leftrightarrow �$ y $(�\to �)\wedge (�\to �)$.

Existe incluso un conector que podría sustituirlos a todos y que es conocido como «operador de Sheffer» (NAND en electrónica): $�\uparrow �$. Este operador devuelve el valor verdadero solo cuando no son ambas verdaderas, ni $�$ ni $�$, es decir, $�\uparrow �=\mathrm{\neg }(�\wedge �)$. Vemos abajo las equivalencias:

$\mathrm{\neg }�=�\uparrow �$

$�\vee �=(�\uparrow �)\uparrow (�\uparrow �)$

$�\wedge �=(�\uparrow �)\uparrow (�\uparrow �)$

$�\to �=�\uparrow (�\uparrow �)$

Otra forma de construir expresiones equivalentes pero diferentes es haciendo uso de las propiedades de ciertos operadores. La disyunción $\vee$ y la conjunción $\wedge$ respetan las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva

Propiedad conmutativa:

Propiedad asociativa:

Propiedad distributiva:

$�\wedge �=�\wedge �$

$�\wedge (�\wedge �)=�\wedge (�\wedge �)$

$�\wedge (�\vee �)=(�\wedge �)\vee (�\wedge �)$

$�\vee (�\vee �)=�\vee (�\vee �)$

$�\vee (�\wedge �)=(�\vee �)\wedge (�\vee �)$

$�\vee (�\wedge �)=(�\vee �)\wedge (�\vee �)$

Como vemos, la Lógica Proposicional es una suerte de álgebra, en la que los símbolos pueden manipularse acorde a unas reglas. Veremos esto de forma más extendida en próximos artículos.

Tablas de Verdad e Interpretaciones Semánticas

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Todas las expresiones, por complejas que sean, poseen un valor de verdad cuando las variables que las forman son interpretadas. Gracias a las Tablas de Verdad, podemos averiguar el valor de verdad de una expresión. Esta tabla será parecida a la que hemos visto para los conectores. Por ejemplo el siguiente argumento:

«Si tres mil vidas de hombres he hollado en esta tierra entonces sí o sí, o bien tres mil vidas de hombres he hollado en esta tierra y ahora me falta tiempo o bien tres mil vidas de hombres he hollado en esta tierra y ahora no me falta tiempo»

Que podríamos traducir a lenguaje de lógica proposicional de la siguiente manera:

$�\leftrightarrow [(�\wedge �)\vee (�\wedge \mathrm{\neg }�)]$

El procedimiento consiste en ir solucionando los valores de los conectores para cada interpretación de las variables. Aunque no aparezcan los paréntesis, estos son necesarios para resolver los conectores de forma ordenada, desde los paréntesis más interiores hasta el conector más externo, que en este caso es un bicondicional ↔. Los valores de este último nos indican el valor de verdad de la proposición en su conjunto.

Modelos de Interpretación

Las interpretaciones de variables (cada fila de una Tabla de Verdad) en las que la expresión resulte cierta se conocen como modelos de la expresión. Para una proposición con dos variables, como la que hemos visto antes, un modelo podría ser $�=1\mathrm{/}�=0$, puesto que en la fila en la que las variables toman esos valores, la proposición se resuelve como verdadera. Fijándonos bien, realmente todas las filas de la tabla dan un resultado verdadero.

Posibles Valores en las Tablas de Verdad

Al resolver la proposición nos podremos encontrar con tres casos distintos:

Todas las interpretaciones posibles dan una proposición verdadera: o lo que es lo mismo, todas las interpretaciones posibles son un modelo. Es el caso del ejemplo anterior en el que el bicondicional da como resultado siempre $1$. Se tratan de verdades lógicas universales. Estas proposiciones se denominan válidas o tautológicas (o analíticas en la terminología de Kant). Son el fundamento de las teorías lógicas, como veremos en próximos artículos. Un ejemplo es el principio de doble negación: $\mathrm{\neg }(\mathrm{\neg }�)=�$

Todas las interpretaciones posibles dan una proposición falsa: en este caso se denominan contradicciones y son falsas en todos los universos lógicos posibles. Un ejemplo es $�\wedge \mathrm{\neg }�$.

Algunas interpretaciones ofrecen una interpretación falsa y otras no: se llaman contingentes y son verdaderas dependiendo de la interpretación de las variables.